حقق الباحثون تقدمًا كبيرًا في الهندسة الطيفية من خلال إثبات حالة خاصة من تخمين باليا فيما يتعلق بالقيم الذاتية للقرص. إن عملهم، الذي يمزج بين الأناقة النظرية والتطبيقات العملية المحتملة، يجسد القيمة العالمية والجمال الفني للبحث الرياضي. الائتمان: SciTechDaily.com
أثبت أحد الأساتذة ومعاونيه تخمين باولا حول القيم الذاتية للقرص، وهي مشكلة صعبة في الرياضيات.
هل يمكنك معرفة شكل الطبلة من الأصوات التي تصدرها؟
هذا هو السؤال الذي يريد يوسف بولدروفيتش، الأستاذ في قسم الرياضيات والإحصاء بجامعة مونتريال، طرحه. يستخدم بولدروفيتش الهندسة الطيفية، وهي فرع من الرياضيات، لفهم الظواهر الفيزيائية التي تنطوي على انتشار الموجات.
اختراق في الاستدلال الرياضي
في الصيف الماضي، أثبت بولدروفيتش ومعاونوه الدوليون نيكولاي فيلونوف ومايكل ليفيتين وديفيد شير تخمينًا مشهورًا في الهندسة الطيفية تم تطويره في عام 1954 على يد عالم الرياضيات المجري الأمريكي الشهير جورج بوليا.
يتكون التقدير من تقدير ترددات الأسطوانة الدائرية أو القيم الذاتية للقرص من الناحية الرياضية.
يوضح هذا الرسم البياني وظائف بيسل، حيث تتوافق النقاط مع ترددات الأصوات القادمة من أسطوانة مستديرة. ائتمان: مايكل ليفيتين
أكد باوليا تخمينه في عام 1961 فيما يتعلق بالمجالات التي تتبلط في المستوى مثل المثلثات والمستطيلات. وحتى العام الماضي، لم يكن هناك سوى التخمين حول هذه الحالات. القرص، على الرغم من بساطته الظاهرة، ظل بعيد المنال.
وقال بولدروفيتش: “تخيل أرضية لا نهائية مغطاة ببلاط من نفس الشكل يتناسب مع بعضها البعض لملء المساحة”. “يمكن تبليطها بمربعات أو مثلثات، ولكن ليس بالأقراص. القرص ليس في الواقع شكلًا جيدًا للتبليط.
عالمية وتأثير الرياضيات
في مقال نشر في مجلة Mathematical Sciences في يوليو 2023 اختراعات الرياضياتلقد أظهر الباحثون أن تخمين باليا ينطبق على القرص، وهو ما يعتبر تحديًا كبيرًا.
على الرغم من أن نتائجهم ذات قيمة نظرية بشكل أساسي، إلا أن طريقتهم في الإثبات لها تطبيقات في الرياضيات الحسابية والحساب العددي. ويستكشف المؤلفون الآن هذا الطريق.
يوسف بولتروفيتش
وقال بولدروفيتش: “على الرغم من أن الرياضيات علم أساسي، إلا أنها تشبه الرياضة والفنون في بعض النواحي”.
“إن محاولة إثبات تخمين طويل الأمد هي لعبة. والعثور على حل أنيق هو فن. وفي كثير من الحالات تكون الاكتشافات الرياضية الجميلة مفيدة – كل ما عليك فعله هو العثور على التطبيق الصحيح.
ملاحظة: نيكولاي فيلونوف، ومايكل ليفيتين، ويوسف بولتروفيتش، وديفيد أ. شير، 5 يونيو 2023، “حدسية بوليا للكرات الإقليدية” اختراعات الرياضيات.
دوى: 10.1007/s00222-023-01198-1
